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如图,已知在底面为正方形是四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,M为线段PA上一动点,E,F分别是线段BC、CD的中点,EF与AC交于点N.(1)求证:平面PAC⊥平面MEF;(2)若PC∥平面MEF,试求PM
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更新时间:2024-03-28
问题描述:

如图,已知在底面为正方形是四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,M为线段PA

上一动点,E,F分别是线段BC、CD的中点,EF与AC交于点N.

(1)求证:平面PAC⊥平面MEF;

(2)若PC∥平面MEF,试求PM:MA的值.

石敏超回答:
  考点:   直线与平面平行的判定平面与平面垂直的判定   专题:   证明题空间位置关系与距离   分析:   (1)由已知可证明PA⊥EF,由底面ABCD为正方形,E,F分别是线段BC、CD的中点,EF与AC交于点N,可证明AC⊥EF,从而可得EF⊥平面PAC,又EF?平面MEF,即可判定平面PAC⊥平面MEF;(2)连接MN,由PC∥平面MEF,且MN?平面MEF,MN?平面APC,可得PC∥MN,从而有PMMA=CNNA,设BC=2,则可得EC=1,AC=8,EN=22,CN=22,从而可求PM:MA的值.   (1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF,∵底面ABCD为正方形,E,F分别是线段BC、CD的中点,EF与AC交于点N.∴∠ACB=π4,设BC=2,可得EC=1,EN=22,可解得AC⊥EF,∴EF⊥平面PAC,∵EF?平面MEF,∴平面PAC⊥平面MEF;(2)连接MN,∵PC∥平面MEF,且MN?平面MEF,MN?平面APC,∴PC∥MN,∴PMMA=CNNA,∵由(1)可得设BC=2,则EC=1,AC=8,EN=22,故CN=1-(22)2=22,∴解得:PMMA=CNNA=228-22=13.   点评:   本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,熟练应用相关判定定理和性质定理是解题的关键,属于基本知识的考查.
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