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一道初三中考数学压轴题定义:若一条直线与抛物线y=x²交于A、B两点(A在B的上方),与x轴交与C点,且满足AB=BC,则称该直线BC是抛物线y=x²的平衡割线.(1)一条直线与y轴交于点D(0,2),并交x
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更新时间:2024-04-19
问题描述:

一道初三中考数学压轴题

定义:若一条直线与抛物线y=x²交于A、B两点(A在B的上方),与x轴交与C点,且满足AB=BC,则称该直线BC是抛物线y=x²的平衡割线

.(1)一条直线与y轴交于点D(0,2),并交x轴负半轴于点C,同时∠DCO=45°(O为原点),求该直线的解析式,判断该直线是否为y=x²的平衡割线,并说明理由;

(2)若直线BC是抛物线y=x²的平衡割线,且B的坐标是(-根号2,2),求点C的坐标

(3)点P是抛物线y=x²上的一点,过点P作两条直线,分别交x轴于点M、N,交抛物线y=x²于点L、K。问当P运动到哪个点时,以M、N、L、K为顶点的四边形是菱形(点P在该四边形内部)

李砚清回答:
  (1)∵y2=4x,焦点F(1,0),准线l0:x=-1.   由定义得:|AF|=xA1,又∵|AF|=|AB|1,∴|AB|=xA同理:|CD|=xD   当l⊥x轴时,则xD=xA=1,∴|AB|×|CD|=1   当l:y=k(x-1)时,代入抛物线方程,得:k2x2-(2k24)xk2=0,∴xAxD=1,∴|AB|×|CD|=1   综上所述,|AB|×|CD|=1   (2)∵|AB|,|BC|,|CD|成等差,且|AB|=xA,|BC|=2,|CD|=xD,∴xAxD=4   由(1)得:xAxD=   2k24   k2   ,∴k2=2,∴k=±   2   ∵l:y=k(x-1),∴m=kOA=   yA   xA   =k(1−   1   xA   )   同理:n=k(1−   1   xB   ),p=k(1−   1   xC   ),q=k(1−   1   xD   )   ∴mnpq=k[4−(   1   xA   1   xD   )−(   1   xB   1   xC   )]=3   2   又   1   xA   1   xD   =   xAxD   xAxD   =4   把y=k(x-1)代入(x-1)2y2=1得,(k21)x2-2(1k2)xk2=1,∵k2=2,∴3x2-6x2=0   ∴xBxC=2,xBxC=   2   3   ,   1   xB   1   xC   =3,∴K=−   2   ,   所以所求直线L的方程为   2   xy−   2   =0
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