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设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1),且f(x)的最小值为3,若f(x)≤5,则x的取值范围是______.
1人问答
更新时间:2024-04-24
问题描述:

设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1),且f(x)的最小值为3,若f(x)≤5,则x的取值范围是______.

齐明霞回答:
  ∵函数f(x)=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|,   ∵f(x)的最小值为3,   ∴|a-4|=3,   ∴a=1或7,∵a>1,   ∴a=7,   ∴f(x)=|x-4|+|x-7|≤5,   ①若x≤4,f(x)=4-x+7-x=11-2x≤5,解得x≥3,故3≤x≤4;   ②若4<x<7,f(x)=x-4+7-x=3,恒成立,故4<x<7;   ③若x≥7,f(x)=x-4+x-7=2x-11≤5,解得x≤8,故7≤x≤8;   综上3≤x≤8,   故答案为:3≤x≤8.
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