1、
b1=1-a1=1-1/4=3/4
b2=b1/(1-a1²)=(3/4)/(1-1/16)=4/5
a2=1-b2=1-4/5=1/5
b3=b2/(1-a2²)=(4/5)/(1-1/25)=5/6
a3=1-b3=1-5/6=1/6
a1=1/4=1/(1+3)a2=1/5=1/(2+3)a3=1/6=1/(3+3)
假设当n=k(k∈N+)时,ak=1/(k+3),则
bk=1-ak=1-1/(k+3)=(k+2)/(k+3)
b(k+1)=bk/(1-ak²)=[(k+2)/(k+3)]/[1-1/(k+3)²]=(k+2)(k+3)/[(k+3)²-1]=(k²+5k+6)/(k²+6k+8)
a(k+1)=1-b(k+1)=1-(k²+5k+6)/(k²+6k+8)=(k+2)/[(k+2)(k+4)]=1/(k+4)=1/[(k+1)+3]
表达式同样成立.
k为任意正整数,因此对任意正整数n,an=1/(n+3)
1/an=n+3
1/a(n+1)-1/an=(n+1)+3-(n+3)=1
1/a1=1/(1/4)=4,数列{1/an}是以4为首项,1为公差的等差数列.
数列{an}的通项公式为an=1/(n+3);数列{bn}的通项公式为bn=(n+2)/(n+3)