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大一高数证明题:若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim(an^(1/n))=a有没有简单一点的证法
3人问答
更新时间:2024-04-20
问题描述:

大一高数证明题:若an>0,且lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a,则lim(an^(1/n))=a

有没有简单一点的证法

陆林海回答:
  利用stolz定理,是最简单的做法   结论是明显的~   如果不用stolz定理,做法其实也不难~   lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=a   根据定义:   对任意ε>0,存在N>0,当N>N,就有|a(n+1)/a(n)-a|
田增平回答:
  利用stolz定理怎么做???看不懂额,;那个不是两个数列,这是一个啊?请给出做法和解释,谢谢
田增平回答:
  stolz定理:设有数列An,Bn若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞则有:若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L则,lim(An)/(Bn)=L因为lima(n+1)/an=a,且an>0,故a≥0同取对数:ln[lima(n+1)/an]=lnalimln[a(n+1)/an]=lnalimlna(n+1)-lnan=lna即:lim[lna(n+1)-lnan]/1=lna进而构造:lim[lna(n+1)-lnan]/[(n+1)-(n)]=lna令,An=lnan,Bn=n原式变为:lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=lna明显,Bn=n>0,单调递增,且n→+∞时Bn→+∞根据stolz定理,就有limAn/Bn=lna即,limlnan/n=lna即,limln(an^(1/n))=lna即,lnliman^(1/n)=lna因此,liman^(1/n)=a有不懂欢迎追问
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