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已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(x•y)=xf(y)+yf(x).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
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更新时间:2024-04-20
问题描述:

已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(x•y)=xf(y)+yf(x).

(1)求f(0),f(1)的值;

(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论.

刘明治回答:
  (1)令x=y=0得,   f(0)=0f(0)+0f(0)=0,   令x=y=1得,   f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0;   (2)f(x)在R上是奇函数,证明如下,   令x=y=-1得,   f(1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1),   故f(-1)=0;   令y=-1,则:   f(-x)=xf(-1)+(-1)f(x);   故f(-x)=-f(x);   故f(x)是奇函数.
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