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高中数学直线与圆锥曲线的综合问题已知抛物线方程x2=4y,过点(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.(I)求证直线AB过定点(0,4);(II)求△OAB(O为坐标原点)面积的最小值
1人问答
更新时间:2024-03-28
问题描述:

高中数学直线与圆锥曲线的综合问题

已知抛物线方程x2=4y,过点(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.

(I)求证直线AB过定点(0,4);

(II)求△OAB(O为坐标原点)面积的最小值.

(Ⅰ)设切点为A(x1,y1),B(x2,y2),又y'=二分之一x,

则切线PA的方程为:y-y1=12x1(x-x1),即y=12x1x-y1,

切线PB的方程为:y-y2=12x2(x-x2)即y=12x2x-y2,

由(t,-4)是PA、PB交点可知:-4=12x1t-y1,-4=12x2t-y2,

∴过A、B的直线方程为-4=12tx-y,

即tx-y+4=0,所以直线AB:12tx-y+4=0过定点(0,4).

(Ⅱ)由{12tx-y+4=0x2=4y.,得x2-2tx-16=0.

则x1+x2=2t,x1x2=-16,

因为S△OAB=12×4×|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=24t2+64≥16,当且仅当t=0时,S最小=16.

另外想问一下开始一步又y'=二分之一x,这一步是怎样得来的?这一步不懂?

邱建平回答:
  则切线PA的方程为:y-y1=12x1(x-x1),即y=12x1x-y1?不对吧,是y=1/2x1x-y1吧切线PB的方程为:y-y2=12x2(x-x2)即y=12x2x-y2这里也是~12是不对的如果都换成是1/2就对了又y'=1/2x是抛物线的导函数,又求导公式可...
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