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边长为4的正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,作PE⊥PB交直线CD于点E,设PA=x,S△PCE=y,(1)求证:DF=EF;(2)当点P在线段AO上时,求y关于x的函数
1人问答
更新时间:2024-04-26
问题描述:

边长为4的正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,作PE⊥PB交直线CD于点E,设PA=x,S△PCE=y,

(1)求证:DF=EF;

(2)当点P在线段AO上时,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;

(3)在点P的运动过程中,△PEC能否为等腰三角形?如果能够,请直接写出PA的长;如果不能,请简单说明理由.

康雁回答:
  (1)证明:延长FP交AB于G,   ∵四边形ABCD是正方形,   ∴∠BAD=∠D=90°(正方形的四个内角都是直角)   ∵PF⊥CD,   ∴∠DFG=90°,   ∴四边形AGFD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),   ∴DF=AG,∠AGF=90°,   ∵AC是正方形ABCD的对角线,   ∴∠BAC=45°,   ∴△AGP是等腰直角三角形,即AG=GP,   ∴GP=DF,   同理CF=PF=BG,   ∵∠GPB+∠FPE=90°,∠GPB+∠GBP=90°,   ∴∠GBP=∠FPE,   在Rt△GBP和Rt△FPE中   ∠GBP=∠FPEBG=PF∠BGP=∠PFE
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